[백준_6588] 골드바흐의 추측

https://www.acmicpc.net/problem/6588

6588번: 골드바흐의 추측

[문제]

 1742년, 독일의 아마추어 수학가 크리스티안 골드바흐는 레온하르트 오일러에게 다음과 같은 추측을 제안하는 편지를 보냈다.

 

4보다 큰 모든 짝수는 두 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

 

 예를 들어 8은 3 + 5로 나타낼 수 있고, 3과 5는 모두 홀수인 소수이다. 또, 20 = 3 + 17 = 7 + 13, 42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23 이다. 이 추측은 아직도 해결되지 않은 문제이다. 백만 이하의 모든 짝수에 대해서, 이 추측을 검증하는 프로그램을 작성하시오.

 

[입력 조건]

입력은 하나 또는 그 이상의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 테스트 케이스의 개수는 100,000개를 넘지 않는다. 각 테스트 케이스는 짝수 정수 n 하나로 이루어져 있다. (6 ≤ n ≤ 1000000) 입력의 마지막 줄에는 0이 하나 주어진다.

 

[코드]

import java.util.*;

public class BaekJoon_6588 {
	public static boolean[] prime=new boolean[1000001];
	
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		
		/*
		 * 모든 배열의 값을 true로 바꿔놓고
		 * 에라토스테네스의 채 알고리즘을 사용하여 소수가 아닌 배열의 값을
		 * false로 변경한다. 즉, 인덱스가 소수인 배열의 값을 true이다.
		 */
		for(int i=2;i<=1000000;i++)
			prime[i]=true;
		
		for(int i=2;i<=100000;i++) {
			for(int j=i*2;j<=1000000;j+=i) {
				if(!prime[j])
					continue;
				prime[j]=false;
			}
		}
		
		while(true) {
			int n=sc.nextInt();
			// 소수의 합으로 n을 나타낼 수 있는지 체크하는 변수
			boolean check=false;
			
			// 0을 입력받으면 프로그램 종료
			if(n==0)
				break;
			
			// 대칭성이라는 성질을 이용하여 n/2까지만 검사를 진행한다.
			for(int i=2;i<=n/2;i++) {
				/*
				 * 숫자 i가 소수라면 n-i도 소수일 경우 두 수의 합으로 n을 표현할 수 있다.
				 * 
				 * 예를 들어 n이 8일 경우 3이 소수이고, 8-3=5 또한 소수이기 때문에
				 * 8 = 3 + 5로 표현할 수 있다.
				 */
				if(prime[i]==true&&prime[n-i]==true) {
					System.out.println(n+" = "+i+" + "+(n-i));
					check=true;
					break;
				}
			}
			
			// 소수의 합으로 n을 나타낼 수 없는 경우
			if(!check)
				System.out.println("Goldbach's conjecture is wrong.");
		}
	}

}

 

[고찰]

 이번 문제는 소수를 구하는 부분에서 에라토스테네스의 채 알고리즘을 사용해야 시간초과 없이 해결할 수 있다. 에라토스테네스의 채 알고리즘은 이전의 백준 소수구하기 문제에서 다뤄본 적 있기 때문에 어렵지 않게 구현할 수 있었다. 그리고 n을 두 소수의 합으로 표현하는 과정에서 n까지가 아닌 n/2까지만 검사해도 된다는 것은 다른 사람이 코드를 찾아보다 알았다. 숫자의 제곱근까지만 약수의 여부를 검증하면 되기 때문에 n/2까지만 탐색을 시도해도 되었다.